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Puntos Notables

Puntos Notables

Definición
Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. En los triángulos se puede denotar un grupo de rectas y puntos muy importantes.

Entre las rectas notables más conocidas de un triángulo se pueden nombrar son:

  1. Circuncentro
  2. Incentro
  3. Baricentro
  4. Ortocentro

Circuncentro

Cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A, B y C.

Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. Por lo tanto:

  • Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un único punto, que denotaremos por O, y que recibe el nombre de circuncentro.
  • El punto de corte de las tres mediatrices es el centro de un circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita.

Ortocentro

Ortocentro

Ortocentro

Propiedades del punto notable Circuncentro

  1. El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa.
  2. El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo.
  3. El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo.

 

Incentro

Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo de un triángulo equidista de los lados que definen dicho ángulo. Luego si llamamos I al punto de intersección de las bisectrices de los ángulos A y B, el punto I equidista de los lados AB y AC (por estar en la bisectriz de A) y de los lados AB y BC (por estar en la bisectriz de B). Luego equidista de los lados AB, BC y CA.

Al equidistar de los tres lados del triángulo, en particular, equidista de CA y CB, lo que demuestra que también estará en la bisectriz del ángulo C y, además, será el centro de una circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo. Por lo tanto:

  • Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un único punto, que denotaremos por i, y que recibe el nombre de incentro.
  • El punto de corte de las tres bisectrices es el centro de un circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, que llamaremos circunferencia inscrita.

Ortocentro

Ortocentro

Ortocentro

 

 

Propiedad del punto notable Incentro

  1. El incentro de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo.

 

Baricentro

Las tres medianas de un triángulo, al igual que ocurría con las mediatrices y bisectrices, se cortan en un único punto, que llamaremos baricentro.

Ortocentro

Ortocentro

Ortocentro

 

Propiedad del punto notable Baricentro

  1. El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto.

Ortocentro

Consideremos un triángulo de vértices A’, B’ y C’. Ya demostramos que las mediatrices de dicho triángulo se cortan en un único punto, llamado circuncentro.

Ortocentro

Propiedades del punto notable Ortocentro

  1. El Ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto.
  2. El Ortocentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo.
  3. El Ortocentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo.