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Proporcionalidad de segmentos

Proporcionalidad de segmentos

Definición
Llamamos proporcionalidad de segmentos a la aplicación existente entre el conjunto de cantidades de longitud en sí mismo, de tal forma que la aplicación sea biyectiva, conserve el orden, la igual y además mantenga la correspondencia con la operación de la suma.

Teorema fundamental de proporcionalidad

Dadas dos rectas r y s que se cortan en el punto O y dadas dos longitudes a y b sobre cada una de las rectas respectivamente de tal forma que determinan los segmentos OA=a y el OB=b, como podemos observar en la imagen. Trazando la recta que une los puntos A y B y rectas una recta paralela a esta que corta a las rectas r y s en el punto X y X’ respectivamente, entonces al segmento OX se le hace corresponder el segmento OX’.

Por tanto se cumple la siguiente razón de proporcionalidad:

Teorema fundamental de proporcionalidad

Proporciones notables

Cuarto proporcional: Dados tres segmentos a, b y c llamamos cuarto proporcional x, de los segmentos a, b y c, como el único segmento que verifica la siguiente relación: a/b=c/x.

Teorema fundamental de proporcionalidad

  1. Como podemos ver de forma geométrica, si trazamos la paralela a la recta AC que pasa por B obtenemos el punto de corte con la recta s, de tal forma que el segmento OX es el cuarto proporcional buscado.
  2. Como se ve, trazando la paralela a la recta AC que pasa por B obtenemos un punto.
  3. X de corte con la recta s, tal que OX = x es el segmento buscado, el cuarto proporcional.

Tercero proporcional: Dados dos segmentos a y b cualesquiera, llamamos tercero proporcional de a y b al segmento x tal que: a/b=b/x.

La construcción es similar al cuarto proporcional considerando que c=b.

Cuaterna armónica: Dados cuatro puntos alineados A, B, X y X’, diremos que forman una cuaterna armónica siempre y cuando se cumpla la siguiente razón de proporcionalidad entre los segmentos: XA/XB=X’A/X’B

Razones y proporciones entre segmentos

La razón de dos segmentos es igual al cociente de sus medidas.

Ejemplo:

Dados los segmentos a, b, c y d:

Teorema fundamental de proporcionalidad

Razones y proporciones entre segmentos a, b, c y d:

La razón de los segmentos a y b es a/b=5/4=1,25

La razón de los segmentos c y d es c/d=2,5/2=1,25

Como las razones   y  son iguales, se dice que los segmentos a y b son proporcionales a los segmentos c y d y se escribe a/b=c/d

Esta proporción entre segmentos tiene las mismas propiedades que las proporciones numéricas.

Rectas secantes cortadas por paralelas equidistantes

Si varias rectas paralelas determinan en una secante segmentos iguales, entonces estas paralelas también determinan segmentos iguales sobre cualquier otra secante.

Las rectas paralelas a, b, c y la recta secante a ellas r:

Teorema fundamental de proporcionalidad

Las rectas paralelas determinan en la secante r dos segmentos iguales AB Y BC y además AB = BC

Si las rectas paralelas cortan a otra secante t, los segmentos A’B’ y B’C’ que las paralelas determinan en la secante también son iguales.

Los triángulos A’MB’ y B’NC’ son iguales porque:

  1. A’N = AB
  2. B’N = BC
  3. Como AB = BC entonces A’M = B’N
  4. Como C′^=B′^ por correspondientes y M^=N^por ser ángulos de lados paralelos, resulta que los dos triángulos A’MB’ y B’NC’ tienen los tres ángulos iguales y un lado igual, y por lo tanto son iguales: A’B’ = B’C’

El Teorema de Thales

Si varias paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos que determinan en una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante.

Las rectas paralelas a, b, c y d cortan a las dos rectas secantes r y t y forman varios segmentos.

  • Con estos segmentos podemos escribir esta proporción:

CDC′D′=2⋅AB2⋅A′B′=ABA′B′

  • Esta proporcionalidad existe entre todos los segmentos de la recta r y sus correspondientes de la recta t:

ABA′B′=ACA′C′=BCB′C′=CDC′D′=k

  • En estas proporciones k es la constante de proporcionalidad.

Aplicaciones del teorema de Thales

El Teorema de Thales se utiliza para:

  1. Dividir un segmento en partes iguales
  2. Calcular el segmento cuarto proporcional
  3. Calcular el segmento tercero proporcional
  4. Dividir un segmento en partes proporcionales a otros dados
  5. División de un segmento en partes iguales.