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Geometría del espacio

Geometría del espacio

Definición
La geometría del espacio (también llamada geometría espacial) es la rama de la geometría que se encarga del estudio de las figuras geométricas voluminosas que ocupan un lugar en el espacio; estudia las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera, el prisma, los poliedros regulares (los sólidos platónicos, convexos, y los sólidos de Kepler-Poinsot, no convexos) y otros poliedros.

La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.

Cuerpos geométricos

Llamamos cuerpos geométricos a las figuras que se han de representar en el espacio tridimensional. Los cuerpos geométricos ocupan siempre un espacio.

La geometría espacial se basa en un sistema formado por tres ejes (X, Y, Z):

  1. Ortogonales (perpendiculares 2 a 2)
  2. Normalizados (las longitudes de los vectores básicos de cada eje son iguales).
  3. Dextrógiros (el tercer eje es producto vectorial de los otros dos).

Teoría de rectas y planos

  • Representación De Rectas

Las proyección de una recta R se obtiene proyectando dos puntos cualesquiera de ella A y B. Uniendo las proyecciones de esos puntos sobre el plano vertical, a’ y b’, se obtiene la proyección vertical r’ de las recta y uniendo las proyecciones de los dos puntos sobre el plano horizontal, ay b, se obtiene la proyección horizontal r de la recta.

Las proyecciones r y r’ definen completamente la posición dela recta R en el espacio. Basta trazar por r un plano P perpendicular al plano H y por r’ un plano Q perpendicular al plano V para obtener R como recta de intersección de esos dos planos.

Dos puntos importantes de una recta son sus trazas o puntos de intersección con los planos de proyección .La intersección de la recta con el plano horizontal es un punto H cuyas proyecciones h-h’, con la cota o y la intersección de la recta con el plano vertical es un punto V, de proyecciones v-v’, con alejamiento O.

Si se conocen las proyecciones r’-r de una recta y se requiere hallar sus trazas, la forma de proceder sería la siguiente:

Trazas horizontal: Observar la proyección vertical r’, seguirla hasta que encuentre la línea de tierra en un punto que será acentuado h’, por ese punto dibujar una perpendicular a la línea de tierra hasta que corte a la proyección horizontal r en un punto que será sin acentuar h. El punto h-h’ es la traza de la recta con el plano horizontal de proyección.

Traza vertical: Observar la proyección horizontal r , seguirla hasta que encuentre a la línea de tierra en un punto que será sin acentuar v, desde ahí dibujar una perpendicular a la línea de tierra hasta cortar a la proyección vertical r’ en un punto que será acentuado v’ . El punto v’-v es la traza de la recta con el plano vertical de proyección.

Geometría del espacio

  • Representación De Planos

Un plano puede estar definido por tres puntos, por recta y un punto, por dos rectas paralelas o por dos rectas que se cortan.

La forma más habitual de representar un plano en diédrica es mediante dos rectas que se cortan, particular mente cuando esas rectas son las intersecciones del plano con los planos de proyección V y H.

Un plano P (transparente) que corta al plano V según la recta AB y al plano H según la recta CD. AB y CD son las trazas del plano P son los planos V y H respectivamente, ambas rectas se cortan en un mismo punto E de la línea de tierra.

1º plano: Una vez hecho el abatimiento del plano V sobre el plano H para poder hacer la representación sobre el papel del dibujo, la recta AB queda definida por su proyección vertical a’-b’ y por su proyección horizontal a-b, coincidente con la línea de tierra. La recta CD queda definida por su proyección horizontal c-d. Ambas rectas se cortan en el punto e’-e de la línea de tierra.

2º plano: Es necesario tener presente que la traza vertical P’ es una recta contenida en la línea de tierra el plano V, de proyecciones r’-r. Con la proyección horizontal r coincidente con la línea de tierra, y que la traza horizontal P es una recta contenida en el plano H, de proyecciones s’-s, con las proyección vertical s’ coincidente con la línea de tierra.

3º plano: Un punto situado en una traza vertical P’ del plano como A, tiene su proyección vertical a’ sobre P’ y la proyección horizontal a en la línea de tierra. Un punto situado en la traza horizontal P del plano, como C, tiene su proyección horizontal c sobre P y la proyección vertical c’ en la línea de tierra.

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