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División de polinomios

La división de un polinomio consiste en algoritmos que hacen posible que un polinomio sea dividido por un polinomio que no sea nulo. Es como una forma globalizada de la estrategia aritmética de la división larga. Puede hacerse a mano con facilidad, puesto que separa el problema de división compleja en otras divisiones mas pequeñas.

Considere la división de un polinomio A(x) entre uno B(x). Se debe saber qué división será únicamente factible cuando el grado del polinomio dividendo es mayor o igual que el grado del polinomio divisor. Al hallar el polinomio cociente D(x) y el polinomio residuo R(x), estos deben comprobar la relación:

A(x)= B(x):D(x)+R(x)

Para poder determinar el cociente y el residuo de A(x):B(x) se cuenta con diversos métodos. Podemos considerar el conocido método de la galera:

  1. Ordene y complete de forma decreciente los polinomios.
  2. Divida el primer termino del dividendo entre entre el primero del divisor y coloque el resultado como primer termino del cociente.
  3. Multiplique el resultado anterior por el divisor, coloque el resultado con signo modificado por debajo del dividendo y desarrolle la suma algebraica.

División exacta de polinomios

Considera dos polinomios de dividendo S(x) y divisor T(x). Cuando una división de polinomios es exacta, el resto es igual a cero. Al momento de dividir el polinomio S(x) entre el polinomio T(x) se halla el polinomio cociente U(x) de tal forma que al multiplicarse por el divisor resulte en el dividendo

S(x)= T(x):U(x)

Para este caso particular se puede decir que la división es exacta y que el dividendo S(x) es múltiplo del divisor T(x) y del cociente U(x). Puede decirse de igual forma que T(x) y U(x) son divisores de S(x)

Ejemplo resuelto de división exacta

 

División exacta de polinomios

Puesto que el residuo R(x)=0 entonces la división es exacta.

División entera de polinomios (o inexacta)

Trate de visualizar dos polinomios, el dividendo L(x) y el divisor S(x). Para toda división entera de polinomios el resto es distinto de cero.

En las divisiones enteras el dividendo L(x) no es múltiplo del divisor S(x) y normalmente se cumple la propiedad fundamental de la división.

L(x) = S(x): C(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el residuo

El grado del polinomio residuo R(x) es siempre menor que el grado del polinomio divisor S(x)

Ejemplo resuelto de división entera/inexacta

En virtud de que el residuo R(x)≠0 podemos concluir que la división es entera (o inexacta).